压轴原题· 西城区校级期中 · 2026 春
定义：[a] 表示不超过 a 的最大整数；{a} = a − [a]。例：[1.5]=1, {1.5}=0.5；[-5.1]=-6, {-5.1}=0.9。(1) [√5]=？, {−3.14}=？, {x}∈？。(2) 对任意 x：a₀=[x]，若{x}≠0 则 x₁=1/{x}，a₁=[x₁]，若{x₁}≠0 则 x₂=1/{x₁}，a₂=[x₂]；称 a₀+1/(a₁+1/a₂) 为 x 的连分数近似。① x = −39/16，求连分数近似；② x = √2，求连分数近似。
阅读题目 · 第 0 步
第一步：读懂 [a] 与 {a} 的几何意义
- 1[a] 是数轴上"不超过 a 的最大整数"——就是 a 落在哪一格的"左端点"
- 2{a} = a − [a] 是 a 到这个左端点的距离，所以恒有 0 ≤ {a} < 1
- 3负数最易错：a = −3.14 在 −4 与 −3 之间，左端点是 −4，所以 [−3.14] = −4，{−3.14} = 0.86
👨🏫 老师
[a] 不是"四舍五入"，也不是"截断"，而是"向下取整"（floor）。负数一定要往更小的方向取。⚠️ 易错点 / 常见卡点
负数最大坑：把 [−3.14] 当 −3，{−3.14} 就会算成 −0.14（违反 0≤{a}<1）。
✅ 通用结论：对任意实数 a，有 [a] ≤ a < [a]+1，且 0 ≤ {a} < 1。