压轴原题· 北京西城区 · 2024 春期末压轴
在平面直角坐标系 xOy 中，给定 n 个不同的点 P_1(x_1, y_1), …, P_n(x_n, y_n)，若它们的 x_1,…,x_n, y_1,…,y_n 中共有 t 个不同的数，则 t 称为这 n 个点的特征值；图形 F 上任意 n 个不同的点中，特征值最小的一组点的特征值，称为 F 的 n 阶特征值。(1) 点 A_1(-1, 1)、A_2(3, -1)、A_3(2, 3) 的特征值为多少？(2) 正方形 ABCD 顶点：A(a, 0)、B(a+2, 0)、C(a+2, 2)、D(a, 2)。① 求正方形 ABCD 的 4 阶特征值的最小值；② 若 5 阶特征值的最小值是 3，求 a 的取值范围。
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先把"特征值"翻译成"数 t = 不同坐标的个数"
- 1n 个点共有 2n 个坐标分量（x、y 各 n 个）
- 2把这 2n 个数合并去重，剩下几个就叫"特征值"
- 3"n 阶特征值"是在图形上挑 n 个不同的点，使这个去重后的个数最小，再取这个最小值
👨🏫 老师
新定义读三遍：第一遍读字面；第二遍读"是谁的特征值"——是这 n 个点的；第三遍读"n 阶特征值"——是"在图形上随便挑 n 个点的所有取法里，去重后数最少的那一种"。✅ 核心策略：让点共享横/纵坐标 ⇒ 去重后剩下的数就少。