压轴原题· 海淀区期末 · 2025 春
定义：四点 A、B、C、D 若能作一个边均垂直于坐标轴的长方形 PQRS，使它们分别落在四条边上且不与顶点重合，则称四点"坐标相合"。A(-1,2)、B(1,1)、C(3,2)、D(0,5)。(1) (0,0)、(1/2,1/2)、(2,-1)、(-2,3) 中与 A、C、D 坐标相合的有？(2) E(e, 2e-3) 与 A、C、D 坐标相合，求 e。(3)① 是否存在 F 使 A、B、C、D、F 中任意 4 点都坐标相合？② 是否存在 5 个点两两组合任意 4 点都坐标相合？
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第一步：把"坐标相合"翻译成"4 个点各占长方形一条边、不在顶点"
- 1轴对齐长方形 ⇔ 左右两条竖直边 + 上下两条水平边
- 2"4 点各占一条边"⇒ 4 点的横坐标里有 2 个互不相同的最值（左右边），纵坐标里有 2 个互不相同的最值（上下边），且每个点恰好占一条边
👨🏫 老师
这种题的关键观察：竖直边由横坐标最值决定，水平边由纵坐标最值决定。如果两点的横坐标都是最小值，就会一起卡在左竖边上 ⇒ 不可能各占一边。✅ 总公式：4 点坐标相合 ⇔ {x 最小、x 最大、y 最小、y 最大} 这 4 个"极值角色"由 4 个不同的点担任。