原题2024—2025学年 北京市海淀区 九年级第一学期期末考试 · 初三数学 · 第 28 题（压轴题 · 几何新定义）
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 2，对于点 P、Q 和 ⊙O 的弦 AB，给出如下定义：若弦 AB 上存在点 C，使得点 P 绕点 C 逆时针旋转 60° 后与点 Q 重合，则称点 Q 是点 P 关于弦 AB 的“等边旋转点”。
（1）如图，点 P(−2, 0)，直线 x = 1 与 ⊙O 交于点 A、B。
① 点 B 的坐标为 ______，点 B ______（填“是”或“不是”）点 P 关于弦 AB 的“等边旋转点”；
② 若点 P 关于弦 AB 的“等边旋转点”为点 Q，则 PQ 的最小值为 ______，当 PQ 与 ⊙O 相切时，点 Q 的坐标为 ______；
（2）已知点 D(t, 0)，E(−1, 0)，若对于线段 OE 上的每一点 M，都存在 ⊙O 的长为 2√3 的弦 GH，使得点 M 是点 D 关于弦 GH 的“等边旋转点”，直接写出 t 的取值范围。
新定义旋转点与圆位置关系直线与圆相切解直角三角形分类讨论
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- （1）① 点 B 的坐标(1, −√3)
- （1）① 点 B 是否为“等边旋转点”是
- （1）② PQ 的最小值3
- （1）② 相切时点 Q 的坐标(−2, −2√3)
- （2）t 的取值范围−2 ≤ t ≤ −2√3/3 或 1 ≤ t ≤ (√13−1)/2
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对应公式
⊙O：x² + y² = 4（半径 r = 2）
对应答案
过渡步骤（无独立答案）
先把题面完整读一遍。这是海淀区九上期末的最后一题，属于“几何新定义”类压轴：题目自己造了一个名词——“等边旋转点”，然后让你用它去解决位置关系问题。这类题不考你背了多少结论，考你能不能把一句中文定义翻译成能算的几何条件。
老师
拿到压轴题，我们先不急着算。先问自己：这个“等边旋转点”到底是谁绕谁转？转完之后落在哪儿？
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学生
好像是：在弦 AB 上找一个点 C 当旋转中心，把 P 绕 C 逆时针转 60°，转到 Q。所以 C 是“藏起来”的那个关键点。
⊙O：x² + y² = 4（半径 r = 2）
定义：∃C ∈ 弦AB，使 P 绕 C 逆时针旋转 60° 后与 Q 重合
本步小结
题目核心：C 是弦上的自由点，P、Q、C 三点构成等边三角形。