原题（第 28 题（全卷压轴题，三、解答题最后一题））· 点击展开/收起
在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径是 3。对于点 P 和 ⊙O，给出如下定义：过点 C 的直线与 ⊙O 交于不同的点 M、N，如果点 P 为线段 MN 的中点，我们把这样的点 P 叫做关于 MN 的“弦中点”。
（1）如图1，已知点 C(-2,0)：① 点 P₁(-2,0)，P₂(-1,1)，P₃(0,2) 中是关于 MN 的“弦中点”的是______；② 若一次函数 y = x + b 的图象上只存在一个关于 MN 的“弦中点”，求 b 的值。
（2）如图2，若 C(-6,0)，一次函数 y = -√3x + m 的图象上存在关于 MN 的“弦中点”，直接写出 m 的取值范围。
最终答案
- （1）① P₁，P₂
- （1）② b = 1 + √2 或 b = 1 - √2
- （2） -3√3 < m ≤ 6 - 3√3
阅读题目
先把题目读明白
题目自己造了一个新名词——“弦中点”。新定义题不可怕，可怕的是没读清楚定义里的每一个字。这里有三个硬条件：① 直线过定点 C；② 直线与 ⊙O 交于两个不同的点 M、N（是割线，不是切线）；③ P 是 MN 的中点。
老师
拿到这道题，我们先不急着算。题目给了哪些条件？特别是——“弦中点”这个名字，是围着谁转的？
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学生
好像是围着 C 转的：直线必须过 C，然后跟圆交出一条弦，弦的中点就叫弦中点。那 P 会不会不止一个？
公式 / 关键式
⊙O：x² + y² = 9（半径 r = 3）
直线 l 过定点 C，且与 ⊙O 交于不同两点 M、N
P 为弦 MN 的中点
常见卡点 / 易错点
“交于不同的点 M、N”这句话不是废话：它排除了相切（只有一个交点）和相离。这决定了后面端点能不能取到。
本步小结
本题的主角不是 M、N，而是那个跟着直线一起动的中点 P。找 P 的轨迹，才是正路。