初中数学 · 圆的“特征值”新定义压轴题详解
互动式图解 · 逐步推导 · 完整计算过程
题目来源：北京市西城区 2024—2025 学年度第一学期期末试卷 · 九年级数学 · 第 28 题（压轴题）
步骤 1 / 16
本题最终答案（先看结论，再看过程）
- · (1)① 点 P(3,3) 关于 y 轴的特征值 = 3
- · (1)② t 的取值范围：5 ≤ t ≤ 9
- · (2) k 的取值范围：√14⁄7 ≤ k ≤ √2 或 k ≥ 2√2
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先把题读懂：这是一道“新定义”题
题目原文：给定圆 C 和直线 l，过圆 C 上一点 P 作 PH ⊥ l 于点 H，直线 PH 与圆 C 的另一个交点记为 Q，把 PH·QH 称为点 P 关于直线 l 的特征值。特别地：当 H 与 P 或 Q 重合时特征值为 0；当 P 与 Q 重合（即 PH 与圆相切）时特征值为 PH²。
老师
拿到这道题，我们先不急着算。新定义题最怕的是“看一眼就开算”。先问自己：这个“特征值”到底是谁乘谁？H 在哪儿？Q 又是怎么冒出来的？
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学生可能会想
好像是：从圆上的点 P 往直线 l 作垂线，垂足是 H；这条垂线再穿过圆，另一个交点是 Q。特征值就是 PH 和 QH 两段长度相乘。
公式
点 P 关于直线 l 的特征值 = PH · QH
本步小结
特征值 = 一条垂直于 l 的直线被“圆”截出的两点，到“垂足 H”的两段距离之积。