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2022 北京中考数学 · 第 28 题

对应点 · 平移、中心对称与动圆距离

互动式图解 · 逐步推导 · 完整计算过程

2022 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷第 28 题

阅读题目

先读题:两次变换,别被长定义吓到

原题电子稿
在平面直角坐标系 xOy 中,给定点 M(a,b) 和点 N。对于点 P,将点 P 先向右平移 a 个单位长度,再向上平移 b 个单位长度,得到点 P′;再作点 P′ 关于点 N 的对称点 Q,称点 Q 是点 P 关于点 M、N 的“对应点”。 (1)M(1,1),点 N 在线段 OM 的延长线上,P(−2,0),点 Q 是点 P 关于 M、N 的对应点。 ① 在图中画出点 Q; ② 连接 PQ,交射线 ON 于点 T,求证:NT=21​OM。 (2)⊙O 的半径为 1,点 M 在 ⊙O 上,点 N 在线段 OM 上,且 ON=t(21​<t<1)。点 P 是圆外一个定点,点 Q 是点 P 关于 M、N 的对应点。当点 M 在圆上运动一周时,直接写出 PQ 的最大值与最小值的差。
2022 北京中考第28题原题截图
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定义只有两个动作:先按向量 M 平移,再关于 N 做中心对称。第一问把动作落到坐标,第二问让 M 沿单位圆运动。

师老师

拿到这道题先不急着算。Q 到底经历了哪两次变换?

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生学生

先把 P 平移到 P′,再把 P′ 关于 N 对称到 Q。

核心公式
PP′=OM
N 是 P′Q 的中点
✓
小结

读题结果:把中文动作逐个翻译成向量,不要一步飞到答案。

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先读题:两次变换,别被长定义吓到

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