压轴原题· 北京西城区 · 2024 春期末压轴
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M(a, b)（M ≠ 原点 O）。将点 Q(x + k·a, y + k·b)（k > 0）称为点 P(x, y) 关于点 M 的"k 倍平移点"。(1) 已知 P(4, 3)：① 若 M(2, -2)，求 P 关于 M 的"2 倍平移点"Q；② 已知 N(-3, -2)、T(1, -2)，M 在线段 NT 上，过 R(r, 0) 作直线 l ⊥ x 轴，若 l 上存在 P 关于 M 的"2 倍平移点"，求 r 的取值范围。(2) A(-1, -1)、B(1, -1)、E(5, 7)、F(8, 4)，以 AB 为边在直线 AB 的上方作正方形 ABCD，M 在正方形 ABCD 的边上且 a > 0、b > 0；对于正方形边上任意一点 P，若线段 EF 上都不存在 P 关于 M 的"k 倍平移点"，直接写出 k 的取值范围。
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第 1 步：把 M 当作从 O 出发的向量 OM
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先把"k 倍平移点"翻译成一条向量公式
- 1给定点 M(a, b)（不在原点）与正数 k
- 2P(x, y) 关于 M 的"k 倍平移点"定义为 Q(x + k·a, y + k·b)
- 3几何上：Q = P + k·M（把 M 当向量），即沿"原点→M"方向平移 k 倍 OM 的距离
👨🏫 老师
新定义题第一步永远是翻译。这一题幸好定义就给出了坐标公式，直接抄下来：Q = (x + k·a, y + k·b)。注意 a、b 自带正负号，不用再拆分讨论。✅ 总公式：Q = P + k·(a, b)。后面三问全部从这一行出发。