压轴原题· 海淀区校级期中 · 2026 春
在平面直角坐标系中，对任意两点 P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)：若 |x₁−x₂| ≥ |y₁−y₂|，则"美好距离" M_{PQ} = |x₁−x₂|；若 |x₁−x₂| < |y₁−y₂|，则 M_{PQ} = |y₁−y₂|。即 M_{PQ} = max(|Δx|, |Δy|)。(1) A(1/2, 0)，B 是 y 轴上的动点：① 写出一个使 M_{AB}=2 的 B；② 求 M_{AB} 的最小值。(2) 直线 l 过 (2,3) 且平行 x 轴，C 在 l 上动，D(0,1)：求 M_{CD} 的最小值，以及 M_{CD} 取最小值时 C 横坐标的最小值。(3) E(t−1, 0)、F(t−3, 4)。若动点 P 满足 M_{EF} = M_{EP} + M_{FP}，则称 P 是 E、F 的"美好连接点"。① 当 t=−1 时画出连接点区域；② 设 N(t/4, 0)，直线 a 过 N 且垂直 x 轴。若直线 a 上存在 E、F 的美好连接点，求 t 的最大值。
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第一步：把"美好距离"翻译成 max(|Δx|, |Δy|)
- 1定义按 |Δx| 与 |Δy| 谁更大分两段，本质就是取最大值（切比雪夫距离）
- 2几何上：M_{PQ}=r ⇔ Q 在以 P 为中心、边长 2r 的正方形边界上
👨🏫 老师
求最值时一定要分情况：横距大 ⇒ 答案是横距；纵距大 ⇒ 答案是纵距。两段交界处相等。公式推导
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✅ 核心规则：M_{PQ} = max(|Δx|, |Δy|)；等值线是以 P 为中心的正方形。