压轴原题· 北京海淀区 · 2024 春期末压轴
对点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，令 m = x₁+x₂、n = y₁+y₂，称 |m-n| 为 A 与 B 的特征值；对图形 M、N，A 取遍 M、B 取遍 N，若 |m-n| 存在最大值则该最大值称为 M 与 N 的特征值。(1) A(3,2)、B(2,-4)：① 求 A、B 特征值；② C 在 y 轴上且 A、C 特征值 = 5，求 C。(2) D(6,0)、E(4,0)，DE 以 1/秒 向左平移 t 秒得 D₁E₁。① F(2,4)，0 < t ≤ 8，求 F 与 D₁E₁ 特征值 h 的范围；② 面积为 2 的正方形对角线交点 G(2t,2t)，边与坐标轴平行，求正方形与 D₁E₁ 的特征值 k 的最小值，及 k ≤ 6 时 t 的范围。
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先把"特征值"翻译成 |x₁+x₂ − (y₁+y₂)| = |(x₁−y₁) + (x₂−y₂)|
- 1m − n = (x₁+x₂) − (y₁+y₂) = (x₁−y₁) + (x₂−y₂)
- 2把每个点都看成"差量 d = x − y"，特征值 = |d_A + d_B|
- 3几何上 d = x − y 是点到直线 y = x 的有向偏移量乘 √2
👨🏫 老师
新定义不要硬记 m、n，立即换一个更顺手的量：令 d(P) = x_P − y_P。那么 |m − n| = |d_A + d_B|。后面所有题都用这个"差量和"来想。✅ 总公式：特征值 = |d_A + d_B|，其中 d(P) = x_P − y_P。