第 1—16 题
共 16 道[m, n] 倍对应点 · 三问详解
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(a, b)，m > 0，n > 0，对点 P 进行如下操作：将点 P 向右（a ≥ 0）或向左（a < 0）平移 m|a| 个单位，再向上（b ≥ 0）或向下（b < 0）平移 n|b| 个单位，得到点 P₁；点 P₁ 横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点 P′，称 P′ 为 P 的"[m, n] 倍对应点"。若图形 W 上存在点 Q 使其 [m, n] 倍对应点 Q′ 也在 W 上，则称 W 为"[m, n] 倍对应图形"。已知 A(-3, -1)，B(-3, -2)。(1) 写出 A 的 [1, 2] 倍对应点；若点 C 的 [1, 2] 倍对应点为 B，求 C。(2) 若 D(a, b)（b 为非零整数）与线段 AB 组成图形 W，且 W 是 [2, 1/2] 倍对应图形，求所有 D。(3) E(t, -1)、F(t+4, -1)、G(t+4, 2)、H(t, 2) 围成矩形，若矩形边上存在 M(1, -1) 的 [m, m] 倍对应点，求 t 的取值范围。
k 倍平移点 · 三问详解
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M(a, b)（M ≠ 原点 O）。将点 Q(x + k·a, y + k·b)（k > 0）称为点 P(x, y) 关于点 M 的"k 倍平移点"。(1) 已知 P(4, 3)：① 若 M(2, -2)，求 P 关于 M 的"2 倍平移点"Q；② 已知 N(-3, -2)、T(1, -2)，M 在线段 NT 上，过 R(r, 0) 作直线 l ⊥ x 轴，若 l 上存在 P 关于 M 的"2 倍平移点"，求 r 的取值范围。(2) A(-1, -1)、B(1, -1)、E(5, 7)、F(8, 4)，以 AB 为边在直线 AB 的上方作正方形 ABCD，M 在正方形 ABCD 的边上且 a > 0、b > 0；对于正方形边上任意一点 P，若线段 EF 上都不存在 P 关于 M 的"k 倍平移点"，直接写出 k 的取值范围。
n 阶特征值 · 正方形上的最小特征值
在平面直角坐标系 xOy 中，给定 n 个不同的点 P_1(x_1, y_1), …, P_n(x_n, y_n)，若它们的 x_1,…,x_n, y_1,…,y_n 中共有 t 个不同的数，则 t 称为这 n 个点的特征值；图形 F 上任意 n 个不同的点中，特征值最小的一组点的特征值，称为 F 的 n 阶特征值。(1) 点 A_1(-1, 1)、A_2(3, -1)、A_3(2, 3) 的特征值为多少？(2) 正方形 ABCD 顶点：A(a, 0)、B(a+2, 0)、C(a+2, 2)、D(a, 2)。① 求正方形 ABCD 的 4 阶特征值的最小值；② 若 5 阶特征值的最小值是 3，求 a 的取值范围。
特征值 |m-n| · 点与图形的最大距离
对点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，令 m = x₁+x₂、n = y₁+y₂，称 |m-n| 为 A 与 B 的特征值；对图形 M、N，A 取遍 M、B 取遍 N，若 |m-n| 存在最大值则该最大值称为 M 与 N 的特征值。(1) A(3,2)、B(2,-4)：① 求 A、B 特征值；② C 在 y 轴上且 A、C 特征值 = 5，求 C。(2) D(6,0)、E(4,0)，DE 以 1/秒 向左平移 t 秒得 D₁E₁。① F(2,4)，0 < t ≤ 8，求 F 与 D₁E₁ 特征值 h 的范围；② 面积为 2 的正方形对角线交点 G(2t,2t)，边与坐标轴平行，求正方形与 D₁E₁ 的特征值 k 的最小值，及 k ≤ 6 时 t 的范围。
M[P,Q] = max(x)+max(y) · 格点计数与正方形定位
定义 M[P, Q] = ½(x₁+x₂+|x₁−x₂|) + ½(y₁+y₂+|y₁−y₂|)。(1) A(2,5)、B(6,4)：① M[A,B] = ？② 格点 C 在四边形 AEFG 内含边上、M[A,C] = 10，求 C；③ D 在 D₁…D₆ 中哪些满足 M[A,D] = 7？④ E 是第一象限格点且 M[A,E] + M[B,E] = 17，共几个？(2) N(m,n) 是第一象限格点、P(t,t)、Q(t+3,t)、S(t+3,t+3)、T(t,t+3)，正方形 PQST 上所有 X 都满足 m+n < M[N,X] ≤ 2(m+n)。① m=5、n=2 时 t 的范围？② 若存在唯一的整数 t 满足题意，N 共几个？
n 阶中点 · 四边形上的均值与轨迹面积
定义：2^n 个点的 n 阶中点 Q(a,b)，a=(x₁+…+x_{2ⁿ})/2ⁿ，b 同理。A(-2,-2)、B(4,4)、C(4,10)、D(-2,4)。(1) ABCD 的 2 阶中点 P = ？(2) A、B、C、D 任取两点的 1 阶中点共几种？(3) 在四边形 ABCD 四条边上分别取 E、F(4,b)、G(1,7)、H(-2,d)；Q = EFGH 的 2 阶中点，R = 八个点的 3 阶中点。① Q = R 时 E 的坐标与 b+d；② 若 E、F、H 分别在 AB、BC、DA 上动，求点 R 的轨迹面积。
线段的"方田点" · 平移生成正方形 + 区域包含
定义：水平线段 MN 向下平移 |MN| 长，竖直线段 MN 向右平移 |MN| 长，得到 M'N'；以 M、N、M'、N' 为顶点的正方形的边上的点称为线段 MN 的"方田点"。A(1,1)、B(-1,1)。(1) P₁(0,1)、P₂(0,½)、P₃(1,0)、P₄(-1,-2) 中哪些是 AB 的方田点？(2) C(m,½)、D(m+2,1) 上存在 AB 的方田点，求 m 范围。(3) G(t,t)、H(t,t-3/2)；P 是 AB 的方田点，P 向下平移 3 得 Q；若 GH 的方田点都是 PQ 的方田点，求 t 的范围。
逆不等式 + 否不等式 · 同解判定与唯一负整数解
定义：ax+b>0（ab≠0）的"逆不等式" = bx+a>0，"否不等式" = ax+b<0。(1) 2x+1>0 的逆不等式是？逆∩否的公共部分？(2) 一般 ax+b>0：① 逆与否同解 ⇒ a、b 的数量关系；② 若"逆与否同时成立"恰存在唯一负整数解，求 b/a 的范围。
坐标相合 · 轴对齐长方形四边各取一点
定义：四点 A、B、C、D 若能作一个边均垂直于坐标轴的长方形 PQRS，使它们分别落在四条边上且不与顶点重合，则称四点"坐标相合"。A(-1,2)、B(1,1)、C(3,2)、D(0,5)。(1) (0,0)、(1/2,1/2)、(2,-1)、(-2,3) 中与 A、C、D 坐标相合的有？(2) E(e, 2e-3) 与 A、C、D 坐标相合，求 e。(3)① 是否存在 F 使 A、B、C、D、F 中任意 4 点都坐标相合？② 是否存在 5 个点两两组合任意 4 点都坐标相合？
正方形的"内平移线段" · 平移后仍在内部
定义：正方形 ABCD 内有 MN，若 MN 上任意点 P(x,y) 平移 (a,b) 后 P'(x+a, y+b) 仍在正方形内（不含边），则 MN 是该正方形的"内平移线段"。(1) A(3,-3)、B(-3,-3)、C(-3,3)、D(3,3)，a=2、b=-1：① E(0,1)、F(-1,-1)、G(1,1) 中哪两点组成"内平移线段"？② 若 M(m,1)、N(m+2,1) 是"内平移线段"，求 m 范围。(2) A(t,0)、B(t-4,0)、C(t-4,4)、D(t,4)；P(1-t, t-1)、Q(2-t, t-2)；a=b=t。PQ 是"内平移线段"，求 t 范围。
半影点 + 单位邻点 · 复合定义与正方形面积最值
定义：P(x,y) 的"半影点" = (x/2, -y)；A(x₁,y₁) 与 B(x₂,y₂) 满足 ||x₁-x₂|-|y₁-y₂|| = 1 时称为"单位邻点"。(1) P(8, 2)，Q 是 P 的半影点：① Q = ？② A(1,0)、B(3,-1)、C(-2,2) 中哪些是 Q 的单位邻点？③ D 在 y 轴上、D 的半影点是 P 的单位邻点 ⇒ D = ？(2) ABCD 是中心 O、边长 2、边平行于坐标轴的正方形。① 画出 A 的所有单位邻点组成的图形；② 正方形 EFGH（边平行于坐标轴），其边上任何点的半影点都能在 ABCD 边上找到单位邻点，求 EFGH 面积最大值。
直角距离 d(A,B)=|Δx|+|Δy| · 强 / 完美直角距离
定义：d(A,B) = |x_A-x_B| + |y_A-y_B|（曼哈顿距离）；d_1(P, 图形 N) = P 到 N 上任一点的最小 d；d_2(M, N) = M 上任一点到 N 的最小 d 中的最大值（强直角距离，不对称）；若 d_2(M,N) = d_2(N,M)，则称两图形存在完美直角距离 D(M,N)。(1) A₁(0,2)、A₂(1,2)、A₃(1,1)、A₄(3,0) 中到 O 直角距离 = 2 的有？(2) B(a, 2a+6)（-3 ≤ a ≤ 0）组成图形 M（线段）；到 O 直角距离 = 2 的 C 组成图形 N（菱形框）。① 求 d_2(M, N)、d_2(N, M)。② 若 a 自由变化使 M 与 N 存在完美直角距离 D，求 D 的最小值以及对应 a 的最小 / 最大值。
两位"迥异数" · f(a) 与不等式整数解
定义：两位数 a 若个、十位数字互不相同且都不为零，则称"迥异数"；个十位调换后得新两位数，f(a) = (新 + 原) / 11。(1) ① 20、33、84 中迥异数 = ？② f(35) = ？(2) 迥异数 b 十位 k、个位 2k+2，f(b)=11，求 b。(3) 迥异数 c 满足 c - 5f(c) > 35，求所有 c。
远距离 D_远 + 总距离 D_总 · 线段上存在点的双约束
定义：D_远(P₁, P₂) = max(|Δx|, |Δy|)（切比雪夫距离）；D_总(P₁, P₂) = |Δx| + |Δy|（曼哈顿距离）。(1) A(3,2)：D_远(A,O) = ？D_总(A,O) = ？(2) B(x, 5-x) 在第一象限且 D_远(B,O) = 3，求 B。(3) ① C(x,y) 满足 D_总(C,O) = 4，画图形 W；② M(m,0)、N(m+1,2)，若线段 MN 上存在 E 使 D_远(E,O) ≤ 4 且 D_总(E,O) ≥ 4，求 m 范围。
完美洗牌 · 位置映射、循环周期与覆盖
52 张牌均分两摞（上 1–26，下 27–52），交错叠放：A 型把上摞首张放顶端，B 型把下摞首张放顶端。(1) 第 3 张经 A 型 → ？第 42 张经 B 型 → ？(2) 第 5 张红桃 A，只用 A 型：① 想到第 14 张最少几次？② 2026 次后红桃 A 在哪？(3) 第 1 张黑桃 A，A、B 型混用：① 想到第 23 张最少几次？② 一定能到任意位置的最少次数 N。
取整运算 [a]、{a} 与连分数近似
定义：[a] 表示不超过 a 的最大整数；{a} = a − [a]。例：[1.5]=1, {1.5}=0.5；[-5.1]=-6, {-5.1}=0.9。(1) [√5]=？, {−3.14}=？, {x}∈？。(2) 对任意 x：a₀=[x]，若{x}≠0 则 x₁=1/{x}，a₁=[x₁]，若{x₁}≠0 则 x₂=1/{x₁}，a₂=[x₂]；称 a₀+1/(a₁+1/a₂) 为 x 的连分数近似。① x = −39/16，求连分数近似；② x = √2，求连分数近似。
第 17—24 题
共 8 道象棋“马”步 · 坐标变化、面积最大与不变量
在平面直角坐标系中，“马”每走一步从 (x,y) 到 (x′,y′)，满足 |x′−x| 和 |y′−y| 中一个是 1，另一个是 2。(1) O(0,0) 走一步到 P，再从 P 走一步到 Q(1,1)，求 P。(2) O 依次走到 D,E,F，最后 F 一步回到 O，D,E,F 互不相同，求四边形 ODEF 面积最大值。(3) 先只向右上走：(x+2,y+1) 或 (x+1,y+2) 到 M(x₀,y₀)，再只向左上走：(x−2,y+1) 或 (x−1,y+2) 到 y 轴上 N(0,y₁)。① 若 x₀≥15,y₀≥14，最少走几步到 M？② 若 O→M→N 共 2026 步，求 y₁ 与 x₀ 的关系。
平面直角坐标系中"特征方程" · 二元一次方程与平移
对于不在坐标轴上的点 P(a,b)，把关于 x、y 的二元一次方程 ax+by=1 叫做点 P 的"特征方程"。例如 P(1,−3) 的特征方程为 x−3y=1。(1) 若点 A(3,t) 的"特征方程"的一个解是 {x=t−1, y=−5}，求 t 的值。(2) 已知 {x=1,y=1} 是点 P(a,b) 的"特征方程"的一个解。将 P 向右平移 m (m>0) 个单位，再向下平移 n (n>0) 个单位后得到点 Q。若 {x=−1, y=−1} 是点 Q 的特征方程的一个解，求 m+n 的最小整数值，并写出此时 m、n 的值。
平面直角坐标系中"关联图形" · 双直线距离与角平分线
在平面直角坐标系 xOy 中，对图形 G 与点 P：过 P 作直线 ℓ₁⊥x 轴、ℓ₂⊥y 轴。若 G 上存在两个不重合的点 M、N，使 M 到 ℓ₁ 的距离 = N 到 ℓ₂ 的距离，就称 G 是点 P 的"关联图形"。(1) 已知 A(3,2)、B(2,0)、C(m,0)：① 当 m=−1 时，判断线段 BC 是否是 A 的关联图形；② 若 BC 是 A 的关联图形，求 m 的取值范围。(2) 已知 M(−5,3)、N(−2,5)、E(n,0)、F(n,n)，若在线段 MN 上存在点 P，使线段 EF 是 P 的关联图形，求 n 的取值范围。
阅读理解 · 二元一次方程 ax+by=c 的全部整数解
阅读材料：关于 x、y 的二元一次方程 ax+by=c 有一组整数解 {x=x₀, y=y₀}，则全部整数解可表示为 {x=x₀−b·t, y=y₀+a·t}（t 为整数）。小明用此法求 7x+19y=213 的全部正整数解：取 {x₀=6, y₀=9}，得 {x=6−19t, y=9+7t}；由 6−19t>0、9+7t>0 解得 −9/7<t<6/19，故 t=0 或 −1，正整数解为 {x=6,y=9} 与 {x=25,y=2}。请仿照小明的方法：(1) 方程 5x−3y=1 的全部整数解 {x=2+3t, y=θ+5t}（t 为整数），求 θ。(2) 求 3x+4y=48 的全部正整数解。(3) 方程 5x+19y=2025 的正整数解有几组？
平面直角坐标系中"美好距离" · 切比雪夫距离与连接点
在平面直角坐标系中，对任意两点 P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)：若 |x₁−x₂| ≥ |y₁−y₂|，则"美好距离" M_{PQ} = |x₁−x₂|；若 |x₁−x₂| < |y₁−y₂|，则 M_{PQ} = |y₁−y₂|。即 M_{PQ} = max(|Δx|, |Δy|)。(1) A(1/2, 0)，B 是 y 轴上的动点：① 写出一个使 M_{AB}=2 的 B；② 求 M_{AB} 的最小值。(2) 直线 l 过 (2,3) 且平行 x 轴，C 在 l 上动，D(0,1)：求 M_{CD} 的最小值，以及 M_{CD} 取最小值时 C 横坐标的最小值。(3) E(t−1, 0)、F(t−3, 4)。若动点 P 满足 M_{EF} = M_{EP} + M_{FP}，则称 P 是 E、F 的"美好连接点"。① 当 t=−1 时画出连接点区域；② 设 N(t/4, 0)，直线 a 过 N 且垂直 x 轴。若直线 a 上存在 E、F 的美好连接点，求 t 的最大值。
平面直角坐标系中"k 差分点" · ||x|−|y||=k 的几何意义
对 P(x,y)：若 |x|≥|y|，记 k = |x|−|y|；若 |x|<|y|，记 k = |y|−|x|。称 P 为"k 差分点"（即 k = ||x|−|y||）。(1) 下列点中是"2 差分点"的有哪些：① (−2,0)；② (−1,2)；③ (2,−4)；④ (−3,0)。(2) P(x₀, y₀) 在 y 轴右侧且是"2 差分点"：当 x₀=2 时，满足条件的 P 有几个？当 x₀≠2 时，可能有几个？(3) 线段两端点 (a, 4)、(−a, 4)，a<−8；C(n, 4)、D(−n/2, 4) 在该线段上动。分别以 C、D 为中心、b 为边长作两个边平行坐标轴的正方形，组成图形 G。若 G 上始终存在"4 差分点"，求 b 的最小值。
数学实践 · 标准卡纸做"叠盖纸盒" · 二元一次方程组的整数解
素材 1：1 张标准卡纸 → 6 张小长方形；1 张小长方形 → 2 张小正方形。素材 2：竖式叠盖纸盒需要 4 张小长方形 + 3 张小正方形；横式叠盖纸盒需要 5 张小长方形 + 2 张小正方形。素材 3：33 张标准卡纸全部剪裁得到 m 张小长方形和 n 张小正方形，做成 x 个横式叠盖纸盒和 y 个竖式叠盖纸盒（x,y 均不为零），恰好用完。(1) 若 m=158，求 n、x、y。(2) 求 x、y 的所有可能取值。
空调"以旧换新"促销 · 方程组 + 一元一次不等式压轴
商场售 A、B 两型空调。2 台 A + 3 台 B 总价 19000 元；3 台 A + 7 台 B 总价 36000 元。(Ⅰ) 求 A、B 每台售价。(Ⅱ) "以旧换新"：购 1 台 A 可用 1 台旧空调抵 1000 元（每台 A 最多抵 1 台）。五一：售出 A 台数 + 收旧台数 = 30；6•18：售 A 共 a 台、收旧 = a/3。两次合计收旧台数 = 两次合计售 A 台数的 1/2。① 用含 a 的式子表示五一售出 A 的台数；② 若两次 A 型总销售额 > 157000 元，求 a 的最小值。